En la primera parte de este artículo se vio que el concepto de Cisne Gris fue desarrollado por Nassim Taleb en base a la matemática fractal de Mandelbrot. Además se dijo que esa matemática puso de manifiesto el orden sistemático que subyace tras las texturas y formas naturales. En esta segunda parte se mostrará que el objetivo inicial de Mandelbrot fue buscar explicaciones al papel que juega la distribución de Pareto en los precios de mercado del algodón, y que los resultados de esa búsqueda fueron los que utilizó Taleb para transformar algunos Cisnes Negros puros en Cisnes Grises.
De Pareto a la Matemática Fractal
Recordemos que el ingeniero Vilfredo Pareto observó que en la Italia de fines del siglo XIX la distribución de la propiedad de la tierra seguía una proporción 80-20. El 80 % de la tierra estaba en manos del 20% de los propietarios, mientras que el restante 20% se distribuía entre el 80% de los campesinos. Además elaboró ecuaciones generales para representar esos fenómenos que hoy se conocen como distribución de Pareto.[1]
A mediados del siglo XX el experto en calidad Joseph Juran constató que el comportamiento que había descubierto Pareto en la distribución de la riqueza se verificaba en una diversidad de situaciones de la industria y el comercio, solo que con variantes en las proporciones. No siempre era 80-20, a veces era 90-10,70-30, etc. Juran comprendió que era necesario generalizar la regla 80-20, y la expresó diciendo que consiste en que una minoría de integrantes de un conjunto explica la mayor proporción de los resultados. La generalización de Juran se convirtió en uno de los principios más importantes de la administración.[2]
En una línea de trabajo totalmente diferente, el filólogo norteamericano George Zipf estableció otra curiosa aplicación de los hallazgos de Pareto. En 1949 Zipf descubrió que el tamaño de las palabras y su frecuencia de utilización en la lengua inglesa siguen una relación de Pareto. Zipf construyó un modelo matemático para representar ese comportamiento (hoy conocido como distribución Zipf o Z), que es una versión de la distribución de Pareto para el universo de las variables discretas.[3]
Los hallazgos de Zipf fueron luego continuados por Mandelbrot, y ese fue el puntapié que dio origen al descubrimiento de la fractalidad. Mandelbrot lo relata así: “La ciencia económica quedaba muy lejos de todo lo que yo había planeado como mis objetivos académicos. Sin embargo, después de que me hubiese hartado ya de la ley de Zipf en lingüística, me dediqué a leer las otras obras de Zipf y fue a través de ellas como llegué a conocer la ley de distribución de rentas de Pareto”.[4] En la década del 60, Mandelbrot se dedicó a analizar en detalle los datos de la cotización bursátil del precio del algodón en los mercados centralizados del Medio Oeste norteamericano a lo largo de un siglo. A partir de ese análisis realizó importantes descubrimientos que lo llevaron a concebir la matemática fractal.
Fractalidad de Mandelbrot: el azar salvaje que crea formas ordenadas
Mandelbrot llegó a la conclusión de que los métodos de la estadística tradicional no se podían aplicar a los datos que estaba analizando porque no se cumplían las restricciones básicas que esos métodos exigen.
Una de las restricciones de los métodos estadísticos básicos es que los eventos que se analizan sean independientes entre sí. Esta condición se verifica en varios fenómenos físicos, pero no es común que se cumpla en las actividades humanas (a excepción de algunas situaciones muy particulares como los juegos de azar). Por este motivo los estadísticos se las han ingeniado para levantar estas exigencias desarrollando métodos que solo piden que los eventos sean estables y su interdependencia sea acotada en el tiempo. A estos procesos estables se los denomina estacionarios.[5] En los procesos estacionarios la influencia de un evento sobre sus vecinos disminuye rápidamente con el tiempo.[6] Así, por ejemplo, el efecto de cualquier cambio puntual de los precios se supone que se tendría que atenuar rápidamente con el correr de los días. Esta es una exigencia que intuitivamente resulta muy razonable y todos los pronósticos estadísticos la consideran válida[7]. Sin embargo Mandelbrot encontró que sorprendentemente los datos que analizaba no cumplían con ese supuesto:
“…el aspecto visual de las gráficas comprimidas a la escala logarítmica de la evolución de los precios del día era asombrosamente parecido al de las gráficas de los precios del mes, de los precios del año, del decenio y del siglo”[8]
A esta extraña rareza Mandelbrot la denominó auto-semejanza y es una propiedad característica de los fractales. Significa que la serie de datos se parece en cierto sentido a las mámushkas: su forma se compone de partes de distinta duración que son muy similares entre sí y que parecen estar metidas unas dentro de otras.
La imagen de la izquierda muestra cómo se articulan los fractales en una serie de tiempo (Tomada de; (https://www.scientificamerican.com/article/multifractals-explain-wall-street/)
Obsérvese que si la forma en que evolucionan los precios de un día es similar a la de un mes, o un año, o un decenio, entonces hay una extraña relación entre los eventos que no disminuye rápidamente a medida que pasa el tiempo. Los procesos auto-semejantes no son estacionarios, y por lo tanto se carece de métodos estadísticos para hacer estimaciones. ¡En los procesos auto-semejantes ni siquiera se puede estar seguro de que el promedio de los datos históricos se acerque a una estimación razonable del valor futuro más probable![9]
Como si esto no fuera suficientemente sorprendente, Mandelbrot también detectó otros desajustes entre los supuestos habituales de la estadística tradicional y el comportamiento real de los precios. Así por ejemplo encontró que la serie de datos no presentaba continuidad a lo largo del tiempo sino que tenía “fluctuaciones muy bruscas”. Esto lo llevó a concebir la existencia de una forma de azar “que con toda legitimidad se podría calificar de “salvaje””. Este azar salvaje es radicalmente distinto del azar benigno que supone la estadística tradicional y que se caracteriza por estabilidad y regularidad. [10]
En contrapartida la auto-semejanza aporta una gran ventaja: introduce un orden general que permite hacer ciertos anticipos sobre la forma macro en que evolucionarán los precios. Por ejemplo Taleb utiliza la auto-semejanza fractal para reducir la incertidumbre de algunos Cisnes Negros: “Si sabemos que la Bolsa se puede desplomar, como lo hizo en 1987, entonces un suceso de este tipo no es un Cisne Negro [puro]. El crac de 1987 no es una [total] rareza, si utilizamos un fractal ….”.
En resumen, Mandelbrot a partir del estudio de la distribución de Pareto en los precios del mercado del algodón encontró rarezas que producen efectos contrapuestos. Por una parte esos efectos muestran la existencia de un orden estructural que permite conocer anticipadamente la forma general en que evolucionarán los precios. Pero en contrapartida esos mismos efectos crean condiciones que impiden la aplicación de los métodos estadísticos tradicionales para hacer estimaciones precisas.
Más allá del mundo bursátil ¿Qué nos dicen los indicadores que siguen la regla de Pareto?
La distribución de Pareto se verifica en una gran cantidad de situaciones. Suele ser una distribución muy frecuente para los indicadores de performance de todo tipo de organizaciones. Además se presenta en la medición de performance de áreas tan disimiles como: publicación de investigaciones científicas, nominaciones para premios Emmy, elección de representantes en EE UU, anotaciones de la NBA, errores en el Beisbol, etc.[11]
Hasta hace poco se pensaba que la distribución de Pareto era un “principio empírico”, que se verificaba en algunas situaciones prácticas pero sin que se pudieran explicar a fondo sus causas. En particular la existencia de indicadores de performance Pareto en las organizaciones se suele tomar como un hecho natural a la vez que no siempre resulta del todo explicable.
Como se ha visto, Mandelbrot mostró que al profundizar el estudio de la distribución de Pareto en relación a las cotizaciones bursátiles se encontró con comportamientos complejos (auto-semejanzas). Esos comportamientos no solo sirvieron para entender la ocurrencia de algunas “crisis” y “milagros” del mundo bursátil, sino que también aportaron elementos para entender la formación de texturas y formas naturales que antes se creían caprichosas. Además, investigaciones posteriores en otros campos (como los Sistemas Adaptativos Complejos[12] y la topología de redes[13]) han reforzado la idea de que las distribuciones de Pareto surgen porque existen mecanismos complejos específicos que las producen.
En base a esto vale la pena preguntarse: ¿No será que los indicadores Pareto son la punta del iceberg de comportamientos complejos que hoy pasan inadvertidos en las organizaciones porque son invisibles a los métodos de análisis tradicional? ¿Qué problemas se podrían anticipar? ¿Qué oportunidades que hoy se pierden podrían aprovecharse?
En futuros artículos se tratará este tema desde un punto de vista práctico. En especial mostrando cómo se pueden analizar los indicadores que siguen la distribución de Pareto para identificar oportunidades de Cisne Gris.
Justo Miranda - Mayo 2020
Notas
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution
[2] The Non-Pareto Principle; Mea Culpa, J.M.Juran , http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.521.6224&rep=rep1&type=pdf
[3] Ley de potencia en caídas de precios mayores a un nivel crítico en series de tiempo financieras. Disponible Sánchez-Cantú, Leopoldo, & Soto-Campos, Carlos Arturo, & Morales-Matamoros, Oswaldo, & García-Pérez, Alba Lucero (2017).en: https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=4237/423749189004
[4] El declive de los grandes números: Benoit Mandelbrot y la estadística social Javier Izquierdo Martín (1998) http://revistas.uned.es/index.php/empiria/article/download/707/636 pag. 65
[5] Nos referimos a la estacionariedad débil que exige que la media sea constante y que la correlación dependa solo de la diferencia de tiempo.
[6] Una propiedad de los procesos estacionarios es que la autocorrelación es máxima en 0.
[7] Cuando los datos presentan tendencias o ciclos son sometidos a procesos de desestacionalización de forma que se transformen en estacionarios.
[8] Ver http://revistas.uned.es/index.php/empiria/article/download/707/636 pag. 73.
[9] Un proceso en el que la media temporal tiende a la media se dice que es ergódico.Si los eventos son independientes la Ley de los Grandes Números asegura el promedio histórico tiende al valor esperado. En los procesos estacionarios no tiene por qué haber independencia, pero como su media es constante se sabe que se cumple una condición necesaria para la ergodicidad, que generalmente se supone válida. Pero si un proceso no es estacionario no se cuenta con ningún elemento que permita suponer su ergodicidad.
[10] Ver Del Azar Benigno al Salvaje. B. Mandelbrot (1996)
